Відмінник

Вчимося на відмінно

Дії над натуральними числами

Додавання

У записі Дії над натуральними числами числа a і b — доданки, число с, а також вираз Дії над натуральними числами — сума чисел а і b.
Властивості додавання
1. Переставна. Від перестановки доданків сума не змінюється: Дії над натуральними числами.
2. Сполучна. Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого й третього чисел: Дії над натуральними числами.
Переставна й сполучна властивості додавання дають змогу виконувати додавання кількох чисел у будь-якій послідовності:
Дії над натуральними числамиДії над натуральними числами.
3. Якщо один із двох доданків 0, то їх сума дорівнює другому доданку:
Дії над натуральними числами; Дії над натуральними числами.

Віднімання

Дія, за допомогою якої за відомою сумою двох доданків і одним із них знаходять другий доданок, називаєтьсядією віднімання: Дії над натуральними числами.
У цьому записі число а — зменшуване, b — від’ємник, c — різниця.
Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від другого або на скільки друге число менше від першого.
Властивості віднімання
1. Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один доданок, а потім від отриманої різниці — другий:
Дії над натуральними числами.
2. Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до отриманої різниці додати другий доданок:
Дії над натуральними числами;
Дії над натуральними числами.
3. Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: Дії над натуральними числами.
4. Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: Дії над натуральними числами.

Множення

Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний із яких дорівнює а:
Дії над натуральними числами або Дії над натуральними числами,
де a і b — множники, c — добуток.
Властивості множення
1. Переставна.Від перестановки множників добуток не змінюється:
Дії над натуральними числами.
2. Сполучна.Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого й третього чисел:
Дії над натуральними числами.
Сполучна й переставна властивості множення поширюються на довільну кількість множників і дозволяють виконувати множення у довільному порядку: Дії над натуральними числамиДії над натуральними числамиДії над натуральними числами.
3. Розподільна.
Щоб помножити суму на число, можна кожний доданок помножити на це число і знай­де­ні добутки додати:
Дії над натуральними числами.
Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число й від першого добутку відняти другий:
Дії над натуральними числами.
4. Якщо одиницю помножити на будь-яке число, дістанемо те саме число:
Дії над натуральними числами.
5. Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0:
Дії над натуральними числами.
Приклади
Дії над натуральними числами
Дії над натуральними числами;
Дії над натуральними числами.

Ділення

Ділення — дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходиться другий множник.
Якщо Дії над натуральними числами, то Дії над натуральними числами і Дії над натуральними числами.
У записі Дії над натуральними числами число с — ділене, b — дільник, число а, а також вираз Дії над натуральними числами — ­частка.
Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника.
Властивості ділення
1. На 0 ділити не можна.
2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: Дії над натуральними числами.
3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: Дії над натуральними числамиДії над натуральними числами.
4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: Дії над натуральними числамиДії над натуральними числами.
Ділення з остачею
Число а ділиться на число b націло, якщо Дії над натуральними числами, де n — яке-небудь натуральне число.
Наприклад, 15 ділиться націло на 3, оскільки Дії над натуральними числами.
В іншому випадку можна поділити а на b з остачею. Наприклад:
Дії над натуральними числамиДії над натуральними числами.
У цьому записі число 289 — ділене, 15 — дільник, 19 — неповна частка, 4 — остача.
Для будь-яких чисел а та b завжди знай­дуться такі числа с і r (натуральні або 0), що Дії над натуральними числами, де Дії над натуральними числами. Коли Дії над натуральними числами, то Дії над натуральними числами, тобто число а ділиться як на число b, так і на число c .