Відмінник

Вчимося на відмінно

Дробові раціональні рівняння

Дробове раціональне рівняння — це рівняння, в якого ліва або права частина або обидві — дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб:
1) перенести всі доданки в один бік;
2) звести їх до спільного знаменника;
3) до одержаного рівняння виду Дробові раціональні рівняння (де a і b — деякі цілі вирази) засто­сувати умову рівності дробу нулю;
4) знайти корені чисельника;
5) перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого;
6) записати відповідь.
Приклад
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівнянняДробові раціональні рівнянняДробові раціональні рівняння

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:
Дробові раціональні рівняння; Дробові раціональні рівняння; Дробові раціональні рівняння.
Дробові раціональні рівняння, Дробові раціональні рівняння.
Якщо Дробові раціональні рівняння, то Дробові раціональні рівняння.
Якщо Дробові раціональні рівняння, то Дробові раціональні рівняння.
Відповідь: Дробові раціональні рівняння.
До дробових раціональних рівнянь приводить велика кількість задач на рух та спільну роботу.
Приклади
Задача 1 (на рух). Теплохід пройшов течією річки 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 години. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км/год.
Розв’язання

Рух Швидкість (км/год) Час (год) Відстань (км)
За течією Дробові раціональні рівняння Дробові раціональні рівняння 150
Проти течії Дробові раціональні рівняння Дробові раціональні рівняння 150


Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі швидкістю Дробові раціональні рівняння км/год і пройшов 150 км за Дробові раціональні рівняння год. Проти течії теплохід рухався зі швидкістю Дробові раціональні рівняння км/год і пройшов 150 км за Дробові раціональні рівняння год. За умовою задачі, на весь шлях він витратив 5,5 год.
Складемо й розв’яжемо рівняння:
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівнянняДробові раціональні рівнянняДробові раціональні рівняння
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівняння; Дробові раціональні рівняння. Розв’язок –5 не задовольняє умову задачі: швидкість — число додатне.
Відповідь: швидкість течії 5 км/год.
Задача 2 (на сумісну роботу). Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?
Розв’язання. (Порівняйте розв’язання із задачею на сумісну роботу за 6-й клас.)
Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно Дробові раціональні рівняння днів. Це означає, що за один день перша бригада виконає Дробові раціональні рівняння, а друга — Дробові раціональні рівняння частину всього завдання. За умовою задачі, разом вони можуть виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади, працю­ючи разом, виконують Дробові раціональні рівняння всього завдання.
Складемо й розв’яжемо рівняння:
Дробові раціональні рівняння, Дробові раціональні рівняння,
Дробові раціональні рівнянняДробові раціональні рівнянняДробові раціональні рівняння
Дробові раціональні рівняння.
За теоремою Вієта: Дробові раціональні рівняння, Дробові раціональні рівняння. Корінь Дробові раціональні рівняння не задовольняє умову задачі, тому що час — число до­датне.
Дробові раціональні рівняння; Дробові раціональні рівняння.
Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.